Enheter och prefix på Högskoleprovet

Skriv dessa vikter i kilogram (kg):

1. $250\, hg$
2. $2,5\, ton$
3. $2 500\, g$

1. $1\, hg = 0,1\, kg$
   $\Rightarrow 25\, hg = (250 \cdot 0,1)\, kg = 25\, kg$
2. $1\, ton = 1 000\, kg$
   $ \Rightarrow 2,5\, ton = (2,5 \cdot 1 000)\, kg = 2 500\, kg$
3. $1\, g = 0,001\, kg$
   $\Rightarrow 2 500\, g = (2 500 \cdot 0,001)\, kg = 2,5\, kg$

Skriv dessa längder i meter (m):

1. $25\, mil + 12\, km$
2. $14\, dm + 150\, cm$
3. $850\, mm$

1. $12\, km = 1,2\, mil$
   $\Rightarrow 25\, mil + 12\, km =$
   $26,2\, mil = (26,2 \cdot 10^4)\, m =$
   $=2,62 \cdot 10^4\, m.$
2. $150\, cm = 15\, dm $
   $\Rightarrow 14\, dm + 150\, cm = 29\, dm =$
   $= 29 \cdot 0,1\, m = 2,9\, m.$
3. $850\, mm = 850 \cdot 10^{-3}\, m = 0,85\, m.$

En båt kör med hastigheten $54\, km/h.$ På sjön mäts hastigheten oftast i knop. $1\, knop \approx 0,5\, m/s.$ Uttryck båtens hastighet i knop.

Vi börjar med att omvandla hastigheten till $m/s.$

$54\, km/h = \frac{54\;000 \: m}{60 \cdot 60 \: s}=\frac{54 \: m}{3,6 \:s}= 15\, m/s$

$15\, m/s$ omvandlat till knop $\approx \frac{15}{0,5} \approx 30\, knop.$

Hastigheten på en $10\, mil$ lång motorväg sänks från $120\, km/h$ till $100\, km/h.$ Förutsatt att trafikanterna håller hastighetsbestämmelserna, vad innebär hastighetsförändringen i tidsförändring på en timma?

Tiden det tar att köra $100\, km$ med medelhastigheten $100\, km/h = \frac{100 \: km}{100 \: km/h}= 1\, h.$

Tiden det tar att köra $100\, km$ med medelhastigheten $120\, km/h=$

$\frac{100\: km}{120 \: km/h}=\frac56 \: h= \frac56 \cdot 60$ minuter $= 50$ minuter

Tidsökningen är således $(60 - 50)$ minuter $= 10$ minuter.

Jorden ligger i genomsnitt $\text{149 600 000}$ kilometer från solen. Ljusets hastighet är $\text{300 000}$ km/s. Hur lång tid tar det för ljuset från solen att nå jorden?

Tiden $=\frac{149 600 000\text{ km}}{300000\text{ km/s}}\approx\frac{1,5\cdot10^8\text{ km}}{3\cdot10^5\text{ km/s}}=500\text{ s.}$

$500\text{ s}=\frac{500\text{ s}}{60 \text{ s/min}}=8\frac13\text{ min}=8\text{ min }20\text{ s.}$

Ett tåg på den röda linjen passerar ett tåg på den blå linjen på $15$ sekunder. Tåget på den röda linjen har hastigheten $72\, km/h$ och tåget på den blå linjen hastigheten $54\, km/h.$ Hur långt är tåget på röd linje?

Vi kallar tågets hastighet på den röda linjen $v_{Röd} = 72\, km/h$ och på den blå linjen $v_{Blå} = 54\, km/h.$ Längden av tåget på den röda linjen kallar vi $L_{Röd}:$

$L_{Röd} = (v_{Röd} - v_{Blå}) \cdot \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}} \cdot 15 \text{ s} = 75 \text{ m.}$

Svar: $75$ meter.

Två tåg startar samtidigt och färdas mot samma punkt. Det ursprungliga avståndet mellan tåget är $900\, km.$ Respektive tågs hastighet är $156\, km/h$ respektive $144\, km/h.$

Efter hur lång tid möts tågen?

Vi kallar tågen A respektive B. Hastigheten $v_A = 156\, km/h$ och $v_B = 144\, km/h.$ Tiden till tågen möts kallar vi $t:$

$t(156+144) \text{ km/h} = 900 \text { km} \Rightarrow 300t = 900$

$\Rightarrow t = 3 \text{ h.}$

Svar: $3$ timmar.

Två simmare startar på varsin sida om en simbassäng. Var och en simmar med konstanta hastigheter och vänder efter en simlängd. Respektive startposition är $A$ och $B$. Första gången de möts är deras position $20\,m$ från $B$ och andra gången $10\,m$ från $A.$

Kvantitet I: Längden på poolen

Kvantitet II: $30\,m$

Vi kallar längden på poolen $L.$ $A$ och $B$ simmar med olika, men konstanta hastigheter och därmed är kvoten av deras respektive hastigheter också konstant.

• Första gången de möts (vi kallar denna tid $t_1$) har $A$ simmat $(L-20)\,m$ och $B$ har simmat $20\,m.$
• Andra gången (vid tiden $t_2$) har $A$ simmat $(2L-10)\,m$ och $B$ har simmat $(L+10)\,m.$

$\frac{\text{Hastigheten A vid }t_1}{\text{Hastigheten B vid } t_1}=\frac{\text{Hastigheten A vid }t_2}{\text{Hastigheten B vid } t_2}=$

$\frac{(L-20)/t_1}{20/t_1}=\frac{(2L-10)/t_2}{(L+10)/t_2}$

$(L+10)(L-20)=20(2L-10)$

$L^2 -50L = 0 \Rightarrow L(L-50)=0$

Roten $L=0$ kan vi ignorera och vi kontaterar att $L=50\,m$

Kvantitet I: Längden på poolen $=50\,m$

Kvantitet II: $30\,m$

Kvantitet I > II.

Vad är tiden för ett godståg med längden $\boldsymbol{120}$ meter och hastigheten $\boldsymbol{72\, km/h}$ att passera en plattform med längden $\boldsymbol{260}$ meter?

Vi kallar tågets längd $= l_t = 120 m.$ och tågets hastighet $= v_t = 72\, km/h.$ Plattformens längd kallar vi $l_p = 260\, m.$

Tiden det tar för tåget att passera plattformen $=$

$\frac{l_t+l_p}{v_t}=\frac{120+260\text{ m}}{72 \text{ km/h}}=$

$=\frac{120+260\text{ m}}{\frac{72 \cdot 1000}{60\cdot60}}=$

$=\frac{380}{20}=19 \text{ sekunder}$

Svar: $19$ sekunder.

Kalle och Simon startar från samma punkt och går i samma riktning runt en $120$ meter lång, cirkulär bana. Kalle håller den konstanta hastigheten $12\, m/min$ och Simon $20\, m/min.$ Efter hur lång tid möts de två vid startpunkten igen?

Tiden efter att Kalle och Simon möts får vi om vi beräknar minsta gemensamma multipel av tiden det tar för de två att gå ett varv runt banan.

Tiden det tar för Kalle att gå ett varv $= \frac{120}{12}=10$ minuter och för Simon $= \frac{120}{20}=6$ minuter. Minsta gemensamma multipel av $10$ och $6$ är $30.$

Svar: Kalle och Simon möts igen vid startpunkten efter $30$ minuter.

Två satelliter med omloppstiderna $90$ minuter respektive $150$ minuter passerar en punkt på jorden samtidigt. Efter hur lång tid kan vi se satelliterna igen?

Vi börjar med att primtalsfaktorisera omloppstiderna:

$90$ minuter = $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ minuter.

$160$ minuter = $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ minuter.

Gemensamma faktorer av omloppstiderna är $5$ och $2$ och vi för in tiderna i ett venndiagram. Den vänstra cirkeln och snittet motsvarar faktorerna i A:s omloppstid och motsvarande för B och den högra cirkeln och snittet:

Tiden till vi ser satelliterna igen får vi om vi multiplicerar faktorerna i venndiagrammet =
$3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1440$ minuter $= 24$ timmar.

Svar: Tiden till vi ser satelliterna igen är $24$ timmar.

Adam målar en vägg på $12$ dagar och Bertil målar samma vägg på $15$ dagar. Hur lång tid tar det att måla väggen om Adam och Bertil målar väggen tillsammans?

Adam målar $\frac{1}{12}$ av väggen per dag och Bertil målar $\frac{1}{15}$ av väggen per dag. Tillsammans målar Adam och Bertil $\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{9}{60}=\frac{3}{20}$ av väggen per dag.

Tiden det tar för Adam och Bertil att tillsammans måla hela väggen = $\frac{1}{\frac{3}{20}}=\frac{20}{3}=\,6\frac23\,\,dagar$

Svar: Det tar $\,6\frac23\,\,dagar$ för Adam och Bertil att måla väggen tillsammans.

Adam och Bertil målar tillsammans en vägg på 15 dagar. Om Bertil skulle måla väggen själv skulle det ta $20$ dagar. Hur lång tid tar det för Adam att själv måla väggen?

På en dag målar Adam och Bertil $\frac{1}{15}$ av väggen och Bertil målar $\frac{1}{20}$ av väggen. Andelen av väggen som Adam målar är då $\frac{1}{15}-\frac{1}{20}=\frac{4-3}{60}=\frac{1}{60}$ per dag och det skulle således ta 60 dagar för Adam att måla väggen själv.

Svar: Det skulle ta Adam 60 dagar att själv måla väggen.

Anders klipper gräsmattan på åtta timmar och Björn klipper den på fyra timmar. De hjälps åt att klippa gräset i två timmar, men sedan tar bensinen slut i Björns gräsklippare. Hur lång tid tar det för Anders att klippa färdigt gräset själv?

På en timma klipper Anders $\frac18$ av gräsmattan och Björn $\frac14.$

Tillsammans klipper de $\frac18+\frac14=\frac{1+2}{8}=\frac38$ av gräset per timma och $2\cdot \frac38 = \frac68 = \frac34$ på två timmar.

Det återstår alltså $\frac14$ för Anders att klippa själv. Vi har konstaterat att Anders klipper $\frac18$ av gräset per timma och att klippa $\frac14=\frac28$ tar alltså två timmar.

Svar: $2$ timmar.

Det tar $7$ dagar för fyra identiska maskiner att tillsammans utföra en viss uppgift. Hur många fler sådana maskiner behövs för att samma uppgift ska utföras på fyra dagar?

Arbetet som ska utförs av fyra maskiner kan vi skriva som ekvationen $A = 4r \cdot 7\,dagar$ där A är arbetet som ska utföras och $r$ är hastigheten med vilken varje maskin arbetar.

Vi adderar nu $n$ maskiner för att utföra samma uppgift och skriver denna ekvation $A = (4+n)r \cdot 4\,dagar$. Då det är samma arbete som ska utföras sätter vi våra ekvationer lika med varandra:

$4r \cdot 7 = (4+n)r \cdot 4$

Vi kan förkorta bort $r$ från varje led:

$28 = 16 + 4n \Rightarrow 4n = 12 \Rightarrow n = 3$

Svar: $3$ maskiner.

För att fylla ett badkar spolas vatten från kallvattenkranen, varmvattenkranen och duschen. Tiden för att fylla badkaret enbart med kallvattenkranen är $12$ minuter, med varmvattenkranen $20$ minuter och med duschen $30$ minuter. Om samtliga kranar och duschen samtidigt spolar, hur lång tid tar det för badkaret att fyllas?

Kallvattnet fyller $\frac{1}{12}$ av badkaret per minut, varmvattnet fyller $\frac{1}{20}$ av badkaret per minut och duschen fyller $\frac{1}{30}$ av badkaret per minut.

Tillsammans fylls $\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$ av badkaret per minut. Minsta gemensamma nämnare = 60 och vi gör om de tre bråken till 60-delar för att kunna skriva på gemensamt bråkstreck:

$\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{5+3+2}{60}=\frac{10}{60}=\frac16$

Hela badkaret fylls på $\frac{1}{\frac16}=6\,\,minuter$

Svar: Det tar 6 minuter att fylla badkaret.

Ett badkar på $500$ liter fylls på med $25$ liter/minut, men proppen är borta och badkaret töms därför samtidigt med $15$ liter/minut. Beräkna tiden till det är fullt.

Tiden till badkaret är fullt = $\frac{500 \text{ liter}}{(25-15)\text{ l/min}}=\frac{500}{10}= 50$ minuter.

Svar: Det tar $50$ minuter att fylla badkaret.

En liten pump fyller en tank på $1$ timme. En stor pump fyller samma tank på $15$ minuter. Om båda pumparna startas samtidigt, hur lång tid tar det då att fylla tanken?

Den lilla pumpen fyller $\frac{1}{60}$ av tanken på en minut och den stora pumpen $\frac{1}{15}$ av tanken per minut.

Hela tanken fylls på $\frac{1}{\frac{1}{12}}=12$ minuter.

Skriv som tiopotens:

1. $2\, G$
2. $300\,\mu$
3. $0,3\, M$

1. $2\, G = 2 \cdot 10^9$
2. $300 \mu = 300 \cdot 10^{-6} = 3 \cdot 10^{-4}$
3. $0,3\, M = 0,3 \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^5$